题目描述

leetcode891. 子序列宽度之和

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

 

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0

 

提示：

  • 1 <= nums.length <= 105
  • 1 <= nums[i] <= 105

题解——贪心，直观解释

思路

我们知道，一个数组有2^n-1个非空子序列，枚举显然是不可行的。
换一个角度思考这个问题，事实上，对于每一个子序列，元素的顺序不影响结果，因为我们只要知道它的最大值和最小值就可以了。所以我们想知道，对每一个元素来说，有几个子序列以它为最大值，又有几个子序列以它为最小值？
考虑以某个元素为最小值的序列个数。如果是整个序列的最小值，显然，所有包含它的子序列都以它为最小值，数目为2^(n-1)。那次小值呢？就是包含它，但不包含最小值的序列个数，就是2^(n-2)，这样，我们就看出规律来了：如果某个数是数组中第k小的元素，那么以它为最小值的子序列就有2^(n-k)个。其实也很好理解，我们从选与不选的角度考虑子序列个数，当确定以第k小的元素为最小值时，前面k-1个都不能选，第k个必须选，剩下可选可不选的还有n-k个，子序列自然就是2^(n-k)个了。
同理，以第k大元素为最大值的子序列也有2^(n-k)个。
接下来考虑如何用代码计算。直接写是不可能的，因为不可能算2^100000，所以我们维护一个系数，从1到2^(n-1)，每次乘二，根据上述的描述，可以推知，以第k小元素为最大值的序列数=以第k大元素为最小值的序列数=2^k，(k从0开始)，所以我们从小到大遍历，每次加上(2^k)*第k小值，减去(2^k)*第k大值。
排序时间复杂度O(nlogn)，计算时间复杂度O(n)

代码

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class Solution {
public:
    int sumSubseqWidths(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(),nums.end());//排序
        long k=1,ans=0,mod=1e9+7;//k为子序列个数，也就是系数
        for(int i=0;i<nums.size();++i)
        {
            ans=(ans+nums[i]*k-nums[nums.size()-1-i]*k)%mod;
            k=(k*2)%mod;
        }
        return ans;
    }
};